Question

如圖，△ABC為圓O的內接三角形，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求證：△ABE∽△ADB，并求AB的長；
（2）延長DB到F，使BF=BO，連接FA，那么直線FA與⊙O相切嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△ABE與△ADB的三個內角相等，故△ABE∽△ADB，進而可得；代入數據可得答案．
（2）連接OA，根據勾股定理可得BF=BO=AB；易得∠OAF=90°，故可得直線FA與⊙O相切．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，（3分）
∴，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2．（5分）

（2）解：直線FA與⊙O相切．（6分）
理由如下：
連接OA，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴BD=，
∴BF=BO=．
∵AB=2，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°．
∴直線FA與⊙O相切．（8分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定及相似三角形證明與性質的運用，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．