【題目】已知拋物線
(1)若求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若,是否存在實(shí)數(shù),使得相應(yīng)的y=1,若有,請指明有幾個并證明你的結(jié)論,若沒有,闡述理由。
(3)若且拋物線在區(qū)間上的最小值是-3,求b的值。
【答案】(1),和;(2)即存在兩個不同實(shí)數(shù),使得相應(yīng);(3)或.
【解析】
(1)先將a=b=1,c=-1代入y=3ax2+2bx+c,得到拋物線為y=3x2+2x-1,再用因式分解法求出方程3x2+2x-1=0的兩個根,即可得到該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將y=1代入y=3ax2+2bx+c,得到3ax2+2bx+c=1,則△=4b2-12a(c-1),再將c-1=-a-b代入△,整理得到△=,由a≠0,得出△>0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知方程3ax2+2bx+c=1有兩個不相等實(shí)數(shù)根,即存在兩個不同實(shí)數(shù)x0,使得相應(yīng)的y=1;
(3)先將代入y=3ax2+2bx+c,得到拋物線為y=x2+2bx+b+2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其對稱軸為x=-b,再分三種情況進(jìn)行討論:①x=-b<-2;②x=-b>2;③-2≤-b≤2.
解(1)當(dāng),時,拋物線為,
∵方程的兩個根為,.
∴該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是和;
(2)存在兩個不同實(shí)數(shù)x0,使得相應(yīng)的y=1.理由如下:
由得, 即,
,
,
∴,
所以方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根,
即存在兩個不同實(shí)數(shù),使得相應(yīng);
(3),則拋物線可化為,其對稱軸為,分三種情況:
①當(dāng)時,即,則有拋物線在時取最小值為-3,此時,解得,合題意;
②當(dāng)時,即,則有拋物線在時取最小值為-3,此時,解得,不合題意,舍去;
③當(dāng)時,即,則有拋物線在時取最小值為-3,此時,化簡得:,解得:(不合題意,舍去),;
綜上:或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則這條對角線叫做這個四邊形的“巧分線”,這個四邊形叫“巧妙四邊形”,若一個四邊形有兩條巧分線,則稱為“絕妙四邊形.
(1)下列四邊形一定是巧妙四邊形的是 .(填序號)
①平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形.
(初步應(yīng)用)
(2)如圖,在絕妙四邊形ABCD中,AC=AD,且AC垂直平分BD,若∠BAD=80°,求∠BCD的度數(shù).
(深入研究)
(3)在巧妙四邊形ABCD中,AB=AD=CD,∠A=90°,AC是四邊形ABCD的巧分線,請直接寫出∠BCD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,在矩形 ABCD 中,點(diǎn) E 以 lcm/s 的速度從點(diǎn) A 向點(diǎn) D 運(yùn)動,運(yùn)動時間為 t(s),連結(jié) BE,過點(diǎn) E 作 EF⊥BE,交 CD 于 F,以 EF 為直徑作⊙O.
(1)求證:∠1=∠2;
(2)如圖 2,連結(jié) BF,交⊙O 于點(diǎn) G,并連結(jié) EG.已知 AB=4,AD=6.
①用含 t 的代數(shù)式表示 DF 的長
②連結(jié) DG,若△EGD 是以 EG 為腰的等腰三角形,求 t 的值;
(3)連結(jié) OC,當(dāng) tan∠BFC=3 時,恰有 OC∥EG,請直接寫出 tan∠ABE 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A是以BC為直徑的⊙O上的一點(diǎn),AD⊥BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作⊙O的切線,與CA的延長線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F是EB的中點(diǎn),連結(jié)CF交AD于點(diǎn)G
(1)求證:AF是⊙O的切線;
(2)求證:AG=GD;
(3)若FB=FG,且⊙O的半徑長為3,求BD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣(x﹣2)2+b的圖象與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求b的值;
(2)拋物線頂點(diǎn)為E,EF⊥x軸于F點(diǎn),點(diǎn)P(2,m)是線段EF上一動點(diǎn),Q(n,0)在x軸上,且n<2,若∠QPC=90°,求n的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出當(dāng)x>0時,的解集.
(3)點(diǎn)P是x軸上的一動點(diǎn),試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo),使PA+PB最小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】課堂上,老師給出一道題:如圖,將拋物線C:y=x2﹣6x+5在x軸下方的圖象沿x軸翻折,翻折后得到的圖象與拋物線C在x軸上方的圖象記為G,已知直線l:y=x+m與圖象G有兩個公共點(diǎn),求m的取值范圍甲同學(xué)的結(jié)果是﹣5<m<﹣1,乙同學(xué)的結(jié)果是m>.下列說法正確的是( 。
A.甲的結(jié)果正確
B.乙的結(jié)果正確
C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確
D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步驟作圖:第一步,分別以點(diǎn)A、D為圓心,以大于的長為半徑在AD的兩側(cè)作弧,交于兩點(diǎn)M、N;第二步,連結(jié)MN,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F;第三步,連結(jié)DE、DF..若BD=6,AF=4,CD=3,則BE的長是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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