Question

“勾股弦”后人概括為“勾3、股4、弦5．”
（1）觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…，發(fā)現(xiàn)這幾組勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，計(jì)算

1

2

（9-1），

1

2

（9+1）；

1

2

（25-1），

1

2

（25+1）；并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫(xiě)出能表示7、24、25這一組數(shù)的股與弦的算式．
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，若用n（n為奇數(shù)，且n≥3）來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾，請(qǐng)直接用n的代數(shù)式來(lái)表示它們的股和弦．
（3）繼續(xù)觀察：4、3、5；6、8、10；8、15、17；…，發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)．利用類(lèi)似上述探索的方法，若用m（m為偶數(shù)，且m≥4）來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾，請(qǐng)分別用m的代數(shù)式來(lái)表示它們的股和弦．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為：股是勾的平方減1的一半，弦是勾的平方加1的一半，從而寫(xiě)出結(jié)果；
（2）由（1）可知，用n來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾，則其股是n的平方減1的一半，弦是n的平方加1的一半；
（3）根據(jù)以上探索規(guī)律，偶數(shù)開(kāi)頭的各組數(shù)字，其股是勾的平方的四分之一減1，其弦是勾的平方的四分之一加1．

解答：解：（1）∵

1

2

（9-1）=4，

1

2

（9+1）=5；

1

2

（25-1）=12，

1

2

（25+1）=13；
∴表示7、24、25這一組數(shù)的股與弦的算式股：

1

2

（49-1）=

1

2

（7²-1），弦：

1

2

（49+1）=

1

2

（7²+1）；
（2）用n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來(lái)表示，股：

1

2

（n²-1），弦：

1

2

（n²+1）；
（3）用m（m為偶數(shù)，且m≥4）的代數(shù)式來(lái)表示，股：

1

4

m²-1，弦：

1

4

m²+1．

點(diǎn)評(píng)：本題是研究勾股數(shù)，考查學(xué)生觀察、分析、類(lèi)比和猜想解決問(wèn)題的能力．屬于探索性題目，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．