Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+3與反例函數(shù)y=

m

x

象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第四象限，且PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、點(diǎn)D，且S_△DBP=27，AO=3CO  
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)寫出當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值不大于反比例函數(shù)的值？
（3）點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連AQ，PQ并把△APQ沿AP翻折得到四邊形AQPG，求出使四邊形AQPG為菱形時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由一次函數(shù)y=kx+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），可得OD=3，易得△ODC∽△BDP，又由AO=3CO，可求得BP的長(zhǎng)，然后由_△DBP=27，求得BP的長(zhǎng)，繼而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先將點(diǎn)P代入一次函數(shù)y=kx+3，求得k的值，然后聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，求得兩個(gè)函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值不大于反比例函數(shù)的值；
（3）由菱形的判定定理可得：AM=PM=

1

2

AP=3，DM=GM=6，且GQ⊥AP時(shí)，四邊形AQPG為菱形，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再驗(yàn)證其在反比例函數(shù)圖象上即可．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴OD=3，
∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，
∴四邊形OBPA是矩形，
∴BP=OA，OC∥BP，
∴△ODC∽△BDP，
∴OD：BD=OC：BP，
∵AO=3CO，
∴OC：BP=1：3，
∴BD=2OD=9，
∵S_△DBP=

1

2

BP•BD=

1

2

×9×BP=27，
解得：BP=6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（6，-6），
∴-6=

m

6

，
解得：m=-36，
∴反比例函數(shù)的解析式為：-

36

x

；

（2）將P（6，-6）代入y=kx+3得：6k+3=-6，
解得：k=-

3

2

，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-

3

2

x+3，
聯(lián)立得：

y=- 3 2 x+3 y=- 36 x

，
解得：

x=-4 y=9

或

x=6 y=-6

，
∴當(dāng)-4≤x＜0或x≥6時(shí)，一次函數(shù)的值不大于反比例函數(shù)的值；

（3）如圖，設(shè)GQ與AP交于點(diǎn)M，當(dāng)AM=PM=

1

2

AP=3，DM=GM，且GQ⊥AP時(shí)，四邊形AQPG為菱形，
∴四邊形OAGM是矩形，
∴GM=OA=6，
∴GQ=2GM=12，
∴點(diǎn)Q（12，-3），且點(diǎn)Q在反比例函數(shù)圖象上．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（12，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．