Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-6，0）、點(diǎn)C（0，4），四邊形OABC是矩形，以點(diǎn)O為圓心的⊙O過點(diǎn)D（，0），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，直線l為AP的垂直平分線，垂足為E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AP與⊙O相切？
（2）請(qǐng)你探究當(dāng)直線l與⊙O相切時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AP與⊙O相切于點(diǎn)H，如圖，連接OH，則OH⊥AP，求得AH，再由△AHO∽△AOP得，即可得出OP；從而求出t的值；
（2）設(shè)直線l與⊙O相切于點(diǎn)F，分兩種情況討論：①當(dāng)P在OC上時(shí)，如圖，連接OF，設(shè)OG=x，AE=y，則AG=6-x，AP=2y．由△OFG∽△AEG，和由△AEG∽△AOP即可得出t；②當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖，AE=OQ=，則AP=2AE=，從而得出t，即直線l與⊙O相切；③當(dāng)P在BC上時(shí)，則連接AP，做它的中垂線，是和圓相離，故不成立．
解答：（1）設(shè)AP與⊙O相切于點(diǎn)H，如圖，
連接OH，則OH⊥AP，
∴AH==，
由△AHO∽△AOP得，
∴，
則OP=，
∴．

（2）①設(shè)直線l與⊙O相切于點(diǎn)F，當(dāng)P在OC上時(shí)，如圖，連接OF，
設(shè)OG=x，AE=y，則AG=6-x，AP=2y．
由△OFG∽△AEG，得，即，
由△AEG∽△AOP得，即，解得，
（或△OFG∽△AOP得，即）
∴OP==，即．
②當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖，AE=OQ=，∴AP=2AE=，．
③當(dāng)P在BC上時(shí)，則連接AP，做它的中垂線，是和圓相離，故不成立．
綜上，當(dāng)或時(shí)，直線l與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，難度較大．