Question

【題目】（1）如圖①，正方形ABCD，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在AB和AD上，且AE=AF．此時(shí)，線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

(2)如圖②,等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α,當(dāng)0°<α<90°時(shí),連接BE、DF,此時(shí)(1)中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。

(3)如圖③,等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α,當(dāng)90°<α<180°時(shí)，連接BD、DE、EF、FB，得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是什么特殊四邊形?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）BE=DF，BE⊥DF；（2）BE=DF，BE⊥DF；證明見解析；（3）正方形.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADF，延長DF交BE于O，求出∠ABE+∠2=90°，從而得到∠BOD=90°，根據(jù)垂直的定義得到BE⊥DF；

（3）連接BE、DF，同理求出BE=DF，BE⊥DF，再根據(jù)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)組成的四邊形是正方形解答．

(1)在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，

∵AE=AF，

∴ABAE=ADAF，

即BE=DF，

∵∠A=90°，

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

(2)∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

延長DF交BE于O，

∵∠ADF+∠1=90°，∠1=∠2(對(duì)頂角相等)，

∴∠ABE+∠2=90°，

∴∠BOD=180°90°=90°，

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

(3)連接BE、DF，

與(2)同理求出BE=DF，BE⊥DF，

故順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形.