Question

1．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°．點D，E分別為腰的中點，以DE長為直徑作圓，圓心為O．請判斷⊙O和底邊AB是否相切，并說明理由．

Answer 1

分析 連接CO并延長CO與AB相交于點H，連接DH，EH，利用等腰三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)證得CH⊥AB，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CD=DH=CE=EH，證得四邊形CDHE是正方形，由正方形的性質(zhì)易得DE=CH，可得CH是該圓的直徑，證得結(jié)論．

解答 解：相切，
連接CO并延長CO與AB相交于點H，連接DH，EH，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AD=CD=$\frac{1}{2}AC$，CE=BE=$\frac{1}{2}BC$，
∴CD=CE，DE∥AB，
∵DO=EO，
∴CO⊥DE，
∵DE∥AB，
∴CH⊥AB，
∴DH=CD=$\frac{1}{2}AC$，EH=CE=$\frac{1}{2}BC$，
∴CD=DH=CE=EH，
∵∠DCE=90°，
∴四邊形CDHE是正方形，
∴DE=CH，即CH是該圓的直徑，
∵CH⊥AB，
∴AB與⊙O相切．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及切線的判定，利用切線的判定方法，“無交點，作垂線段，證半徑”是解答此題的關鍵．