Question

如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)P，Q是AC的中點(diǎn)．判斷直線(xiàn)PQ與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：直線(xiàn)PQ與⊙O的位置關(guān)系是：相切．
其理由如下：
①連接OP、CP．
∵BC是直徑，
∴CP⊥AB，
在Rt△APC中，Q為斜邊AC的中點(diǎn)；
∴PQ=CQ=AC（直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半），
∴∠QPC=∠QCP；
又OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
又∠BCA=90°，
∴∠OPQ=90°且P在⊙O上，
∴直線(xiàn)PQ與⊙O的位置關(guān)系是：相切．

②用三角形全等或者角的和（差）也可證明．
分析：連接OP、CP．先由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到Rt△APC，根據(jù)斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可知PQ=CQ，所以∠QPC=∠QCP，利用等邊對(duì)等角把角之間的數(shù)量關(guān)系與∠BCA=90°結(jié)合得到∠OPQ=90°，再根據(jù)點(diǎn)P在⊙O上可判斷PQ是⊙O的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題要準(zhǔn)確的作出輔助線(xiàn)才能快捷準(zhǔn)確的解題．利用直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形是常用的方法．注意切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并與半徑垂直的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．