Question

3．如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點．
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）若添加條件AB⊥AC，四邊形AECF是什么四邊形？說明理由；
（3）若在（2）的基礎上，在添加條件AB=AC，四邊形AECF是什么四邊形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出CE=AF，CE∥AF，即可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AE=CE，即可得出結(jié)論；
（3）由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出∠AEC=90°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵點E、F分別是BC、AD的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC，AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴CE=AF，
又∵CE∥AF，
∴四邊形AECF為平行四邊形；
（2）解：四邊形AECF是菱形；理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵E是BC的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=CE，
∴四邊形AECF是菱形；
（3）解：四邊形AECF是正方形；理由如下：
∵AB=AC，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
由（2）得：四邊形AECF是菱形，
∴四邊形AECF是正方形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和是等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解決問題的關鍵．