Question

如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，CD=CA，CE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AC=4，AB=5，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）先證明△ACO≌DCO得∠1=∠2，而∠1=∠3，所以∠2=∠3，根據(jù)圓周角定理得∠2=∠4，則∠3=∠4，所以CO∥ED，而CE⊥DB，則OC⊥CE，于是根據(jù)切線的判定定理得到直線CE與⊙O相切；
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理由AB是直徑得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，利用勾股定理計(jì)算出BC=3，再證明Rt△ACB∽R(shí)t△DEC，然后利用相似比計(jì)算CE．

解答：（1）解：直線CE與⊙O相切．理由如下：連接CO、DO，
在△ACO和△DCO中

AC=CD CO=CO AO=DO

∴△ACO≌DCO，
∴∠1=∠2，
∵CO=DO，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∴CO∥ED，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CE，
∴直線CE與⊙O相切；
（2）連接BC，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AC=4，AB=5，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵∠2=∠4，
∴Rt△ACB∽R(shí)t△DEC，
∴

AB

DC

=

CB

EC

，即

5

4

=

3

CE

，
∴EC=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、勾股定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．