Question

3．如圖，以O(shè)為圓心的兩個同心圓，大圓半徑為5，小圓半徑為$\sqrt{5}$，點P為大圓上的一點，PC、PB切小圓于點A、點B，交大圓于C、D兩點，點E為弦CD上任一點，則AE+OE的最小值為$\sqrt{53}$．

Answer 1

分析 連接PO，并延長OP到O′交CD于點G，使OG=O′G，連接AO′交CD于點E，連接OE，過點A作AF⊥OP，垂足為F，由切線的性質(zhì)可知OB⊥PD，由垂徑定理可知PB=BD，在Rt△OPB中，由勾股定理可知PB=2$\sqrt{5}$，故此PD=4$\sqrt{5}$，同理可知PC=4$\sqrt{5}$，從而得到PC=PD，然后證明PO平分∠CPD，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知PG⊥DC，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知OF=1，AF=2，PG=8，從而求得OO′=7，在Rt△AFO′中，由勾股定理可知AO′=$\sqrt{53}$．

解答 解：如圖所示：連接PO，并延長OP到O′交CD于點G，使OG=O′G，連接AO′交CD于點E，連接OE，過點A作AF⊥OP，垂足為F．

∵PB是小圓的切線，
∴OB⊥PD．
∴PB=BD．
在Rt△OPB中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴PD=4$\sqrt{5}$．
同理：PC=4$\sqrt{5}$．
∴PC=PD．
∵PA、PB是小圓的切線，
∴PO平分∠CPD．
∴PG⊥DC．
∴CD是OO′的垂直平分線．
∴OE=O′E．
∴AE+EO=AE+EO′=AO′．
∵cos∠AOF=$\frac{AO}{OP}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴OF=AO×cos∠AOF=$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=1，AF=2OF=2．
∵PG=PC×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$4\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=8，
∴OG=PG-OP=3．
∴OO′=1+3+3=7．
在Rt△AFO′中，AO′=$\sqrt{A{F}^{2}+FO{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{53}$．
故答案為：$\sqrt{53}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．