Question

如圖，已知邊長為a的正方形ABCD，在AB、AD上分別取點(diǎn)P、S，連接PS，將Rt△SAP繞正方形中心O旋轉(zhuǎn)180°得Rt△QCR，從而得四邊形PQRS．試判斷四邊形PQRS能否變化成矩形？若能，設(shè)PA=x，SA=y，請(qǐng)說明x、y具有什么關(guān)系時(shí)，四邊形PQRS是矩形；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)Rt△SAP與Rt△QCR關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱即可求得平行四邊形PQRS，從而可以求證△BPQ∽△ASP，即可得

BP

AS

=

BQ

AP

，即可解題．

解答：解：∵Rt△SAP與Rt△QCR關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，
∴QS與PR被O點(diǎn)平分，得到平行四邊形PQRS，若平行四邊形PQRS變成矩形，不妨設(shè)∠QPS=90°，
則∠BPQ+∠APS=90°，又∠APS+∠ASP=90°，
∴∠BPQ=∠ASP，從而△BPQ∽△ASP∴

BP

AS

=

BQ

AP

，即

a-x

y

=

a-y

x

整理得 （x-y）（x+y-a）=0，∴x=y或x+y=a，
故當(dāng)x=y或x+y=a時(shí)，可證得△BPQ∽△ASP，
∠QPS=90°，從而得平行四邊形PQRS是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中求證△BPQ∽△ASP是解題的關(guān)鍵．