Question

在平面直角坐標系中，將拋物線y₁=x²-4x+1向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到拋物線y₂，然后將拋物線y₂繞其頂點順時針旋轉180°，得到拋物線y₃．
（1）求拋物線y₂、y₃的解析式．
（2）求y₃＜0時，x的取值范圍．
（3）判斷以拋物線y₃的頂點以及其與x軸的交點為頂點的三角形的形狀，并求它的面積．

Answer 1

（1）由y₁=x²-4x+1得：y₁=（x-2）²-3，（1分）
由題意得：y₂=（x-2+3）²-3+4即：y₂=x²+2x+2 （1分）
因為將拋物線y₂繞其頂點順時針旋轉180°得到的拋物線開口向下，頂點不變，形狀不變，所以y₃=-（x+1）²+1．
即：y₃=-x²-2x． （1分）

（2）令y₃=0即：-x²-2x=0，解得：x₁=0，x₂=-2，（1分）
由函數圖象（圖略）可知，當x＜-2或x＞0時，y₃＜0．（1分）


（3）由圖象可知，此三角形為等腰直角三角形．（1分）
由題意知拋物線y₃的頂點坐標為：x=

-2

2

=-1，則y₃=-1+2=1．
∴y₃的頂點坐標為：（-1，1），S=

1

2

×2×1=1，所以此三角形的面積為1．（1分）