Question

【題目】如圖，在等邊中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為.當(dāng)點(diǎn)第一次回到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，、兩點(diǎn)重合；

（2）當(dāng)點(diǎn)、分別在、邊上運(yùn)動(dòng)，的形狀會(huì)不斷發(fā)生變化.

①當(dāng)為何值時(shí)，是等邊三角形；

②當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形；

（3）若點(diǎn)、都在邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)存在以為底邊的等腰時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；（2）①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形；②當(dāng)或時(shí)，是直角三角形；（3）當(dāng)存在以為底邊的等腰時(shí)，的值為8.

【解析】

（1）當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的距離等于點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的距離加上AB的長(zhǎng)，求解即可；

（2）①因可知要使是等邊三角形，只需，據(jù)此建立方程求解即可；

②分和兩種情況，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AM與AN的等量關(guān)系，據(jù)此建立方程求解即可；

（3）先畫(huà)出圖形，確認(rèn)點(diǎn)M、N的位置，再利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，據(jù)此列出方程求解即可.

（1）由題意得：當(dāng)點(diǎn)第一次回到點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間

當(dāng)M、N兩點(diǎn)重合時(shí)，

解得

故當(dāng)時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；

（2）是等邊三角形

點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)

①要使是等邊三角形，只需

因此，

解得

故當(dāng)時(shí)，是等邊三角形；

②要使是直角三角形，只需或

當(dāng)時(shí)，

由直角三角形的性質(zhì)得

因此，

解得

當(dāng)時(shí)，

由直角三角形的性質(zhì)得

因此，

解得

綜上，當(dāng)或時(shí)，是直角三角形；

（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合

此時(shí)，即重合時(shí)恰好在C處

此后點(diǎn)M、N都在BC邊上運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)N在點(diǎn)M前面

當(dāng)是以MN為底邊的等腰三角形時(shí)，如圖所示：

，即

又是等邊三角形

在和中，

又

則

解得

故當(dāng)存在以為底邊的等腰時(shí)，的值為8.