Question

如圖①，△ABC中，直線ME垂直平分AB，分別交AB，BC于點E，M，直線NF垂直平分AC，分別交AC、BC于點F、N．
（1）求證：△AMN的周長等于BC的長；
（2）結合（1）的啟發(fā)請解決下列問題：
①如圖②，在△AOB內部有一定點P，試在OA、OB上確定兩點C，D，使△PCD的周長最短；
②若∠AOB=30°，OP=10，求①中所畫出△PCD的周長．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,線段垂直平分線的性質

專題：

分析：（1）由直線PM為線段AB的垂直平分線，根據線段垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三邊之和，等量代換可得其周長等于BC的長，由BC的長即可得到三角形AMN的周長．
（2）①作P關于OA，OB的對稱點P′，P″．連接P′P″交OA、OB于C、D，．則此時△PMN的周長最短，最短的值是P′P″的長．
②根據對稱的性質可以證得△P′OP″是等邊三角形，據此即可求解．

解答：（1）證明：如圖①，∵直線MP為線段AB的垂直平分線（已知），
∴MA=MB（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
又∵直線NQ為線段AC的垂直平分線（已知），
∴NA=NC（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∴△AMN的周長=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代換），

（2）解：①如圖，作P關于OA，OB的對稱點P′，P″．連接P′P″交OA、OB于C、D，．則此時△PMN的周長最短，最短的值是P′P″的長．
②∵P、P′關于OA對稱，
∴∠POP′=2∠AOP，OP′=OP
同理，∠POP″=2∠BOP，OP=OP″
∴∠P′OP″=∠P′OP+∠P″OP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=60°，OP′=OP″=OP=10．
∴△P′OP″是等邊三角形，
∵OP=10，
∴P′P″=10，
∴△PMN周長最短值為10．

點評：此題考查了線段垂直平分線定理的運用，利用了轉化的思想，熟練掌握線段垂直平分線定理是解本題的關鍵．