Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB是等腰三角形，BO=BA=5，OA=6，OH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿y軸正半軸方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O即停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)和OH的長；
（2）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，最大值是多少？
（3）當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

解：（1）如圖，過B作BC⊥OA，
∵BO=BA=5，OA=6，
∴OC=AC=3，
∴BC===4，
所以B（3，4），
S_△ABO=×OA×BC=×AB×OH，
即×6×4=×5×OH，
解得OH=．

（2）過點(diǎn)P作PD⊥OQ，則DP∥OA，
∴∠DPO=∠HOA，
又∵∠PDO=∠OHA=90°，
∴△POD∽△OAH，
∴=，
即=，
整理的PD=-t，
∴S=OQ×PD=t（-t）=-（t-）²+，
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-（t-）²+，
當(dāng)t=時(shí)，△OPQ的面積最大，最大面積是．

（3）分三種情況討論，①當(dāng)OQ=PO時(shí)，t=-t，
解得t=，
②當(dāng)OQ=PQ時(shí)，
∵∠QOP=∠QPO=∠OAB=∠BOA，
∴△QOP∽△BOA，
∴=，
即=，
解得t=．
③當(dāng)PQ=OP時(shí)，OQ=t，OP=-t，
∵PD⊥y軸，
∴OD=，
在Rt△ODP中，
OP²=DP²+OD²，即（-t）²=（-t）²+（）²，
解得t=秒，
∴當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是或或秒．
分析：（1）過B作BC⊥OA，根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)可得OC=AC=3，然后利用勾股定理求出BC的長度，確定出B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積即可求出OH的長；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥OQ，證明△POD與△OAH相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PD的長度，再利用三角形的面積公式即可表示出S于t之間的函數(shù)關(guān)系式，然后整理成頂點(diǎn)式即可進(jìn)行解答；
（3）分三種情況討論，①當(dāng)OQ=PO時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)直接列式求解即可；②當(dāng)OQ=PQ時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)△QOP與△BOA相似，③當(dāng)PQ=OP時(shí)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)以及解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，并且運(yùn)算量比較大，希望同學(xué)們能夠認(rèn)真計(jì)算仔細(xì)求解．