Question

如圖1，四邊形ABCD是一張矩形紙片，∠BAC=α（0°＜α＜45°），現(xiàn)將其折疊，使A，C兩點(diǎn)重合．
（1）作出折痕EF；
（2）設(shè)AC=x，EF=y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，（2）題中求得的函數(shù)關(guān)系式是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)求出當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AC的中垂線EF，交AB、CD與E、F，EF即為折痕；

（2）連接CE、AF，則四邊形AFCE為菱形，即OE=OF，OA=OC，AC⊥EF．在RT△AOE中，AO=x，OE=y，且OE=tanα•OA，由此以得到所求函數(shù)關(guān)系；

（3）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，
∵∠CAB=α，
∴∠DAO=90°-α．在Rt△AOF中，OF=tan（90°-α）•OA，有成可以求出函數(shù)關(guān)系．
解答：解：（1）如圖，作AC的中垂線與CD，AB分別交于F，E．EF即為折痕；

（2）設(shè)AC與EF交于O點(diǎn)，則點(diǎn)O是矩形的對(duì)稱中心，
∴AO=x，OE=y．
在Rt△AOE中，OE=tanα•OA，
即y=xtanα．

（3）當(dāng)45°＜α＜90°時(shí)，
∵∠CAB=α，∴∠FAO=90°-α．
所以（2）題中求得的函數(shù)關(guān)系式不成立．
在Rt△AOF中，OF=tan（90°-α）•OA，
即y=xcotα．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角函數(shù)中正切和余切的運(yùn)用，題目雖復(fù)雜，但解題相對(duì)簡(jiǎn)單．