Question

若拋物線y=ax²+bx+c（a≠0，△＞0）與x軸交與A、B兩點（點A在點B左邊）與y軸交于點C，我們稱△ABC 為拋物線的“奠基三角形”．
（1）若拋物線的“奠基三角形”△ABC的三頂點坐標分別為A（1，0）、B（5，0）、C（0，5），求該拋物線的解析式；
（2）在（1）的拋物線上是否存在一點P，使△PBC與“奠基三角形”△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．
（3）在（1）拋物線上是否存在一點P，在對稱軸上是否存在一點D，使以A，B，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴設y=a（x-1）（x-5），
∴a（0-1）（0-5）=5，
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
∴該拋物線的解析式為y=x²-6x+5；

（2）過點A作直線BC的平行線l₁，交拋物線于點P₁，
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵B（5，0）、C（0，5），
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y=-x+5，
設直線l₁的解析式為：y=-x+m，
∵A（1，0），
∴-1+m=0，
解得：m=1，
∴直線l₁的解析式為：y=-x+1，
∴直線l₁與y軸的交點E（0，1），
∴CE=OC-OE=5-1=4，
聯(lián)立直線l₁的解析式與拋物線的解析式，可得：
，
解得：或（舍去），
∴P₁（4，-3）；
同理：把直線BC向上平移4個單位，與y軸交于點F，
則直線l₂的解析式為：y=-x+9，
聯(lián)立直線l₂的解析式與拋物線的解析式，可得：
，
解得：或，
∴P₂（，）或P₃（，）；

（3）如圖，若PD∥AB，當PD=AB=OB-OA=5-1=4時，以A，B，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形，
∵y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴此拋物線的對稱軸為：直線x=3，
∴P的橫坐標為：3+4=7或3-4=-1，
∴P₁（7，12），P₂（-1，12）；
當P₃（3，-4），D（3，4）時，以A，B，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
綜上可得：P₁（7，12），P₂（-1，12），P₃（3，-4）．
分析：（1）由A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）在拋物線y=ax²+bx+c上，可設y=a（x-1）（x-5），繼而可求得該拋物線的解析式；
（2）首先過點A作直線BC的平行線l₁，交拋物線于點P₁，設直線BC的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，由平行線的性質(zhì)，可設直線l₁的解析式為：y=-x+m，繼而可求得直線l₁的解析式，然后聯(lián)立直線l₁的解析式與拋物線的解析式，即可求得點P的坐標，同理把直線BC向上平移4個單位，與y軸交于點F，則直線l₂的解析式為：y=-x+9，聯(lián)立直線l₂的解析式與拋物線的解析式，即可求得答案；
（3）由若PD∥AB，當PD=AB=OB-OA=5-1=4時，以A，B，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形，即可求得點P的橫坐標，繼而可求得點P的坐標；又由當P₃（3，-4），D（3，4）時，以A，B，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．