Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，

（1）按如下步驟作圖：（保留作圖痕跡）

第一步，分別以點(diǎn)B、D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑在BD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N；

第二步，連接MN分別交AB，BC于點(diǎn)E、F；

第三步，連接DE，DF．

（2）求證：四邊形BEDF是菱形；

（3）若AD＝6，BF＝4，CD＝3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）8

【解析】

（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）利用基本作圖方法得出MN是線段BD的垂直平分線，進(jìn)而得出DE∥BC，同理可得：DF∥BE，進(jìn)而得出答案；
（3）利用菱形的性質(zhì)得出BE=DE=DF=BF，再利用平行線分線段成比例定理得出答案．

（1）如右圖所示；

（2）證明：∵根據(jù)（1）作法可知：MN是線段BD的垂直平分線，
∴BE=DE，BF=DF
∴∠EBD=∠EDB
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠FBD
∴∠EDB=∠FBD
∴DE∥BC
同理得DF∥AB
∴四邊形BEDF是平行四邊形
又∵BE=DE
∴四邊形BEDF是菱形；
（3）∵四邊形BEDF是菱形，
∴BE=DE=BF=DF=4，
∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD=6，BF=4，CD=3，
∴，
解得：AE=8．