如圖,已知拋物線與軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與軸交于點C(0,3)。
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形,若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點M是拋物線上一點,以B、C,D、M為頂點的四邊形是直角梯形,試求出點M的坐標。
解:(1)∵拋物線與軸交于點(0,3),
∴設(shè)拋物線解析式為。
根據(jù)題意,得,解得。
∴拋物線的解析式為。
(2)存在。
由,得D點坐標為(1,4),對稱軸為。
①若以CD為底邊,則PD=PC,
設(shè)P點坐標為,根據(jù)勾股定理,得
,
即。
又點P在拋物線上,
∴,即。
解得。
∵,應(yīng)舍去,∴。
。
即點P的坐標為。
②若以CD為一腰,因為點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上,由拋物線對稱性知,
點P與點C關(guān)于直線對稱,此時P點坐標為(2,3)。
∴符合條件的點P坐標為或(2,3)。
(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根據(jù)勾股定理,得
,,。
∴
∴∠BCD=90º,
設(shè)對稱軸交軸于點E,過C做CM⊥DE,交拋物線于點M,垂足為F。
在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,∴∠CDF=45º,
由拋物線的對稱性知,
∠CDM=2×45º=90º,點M坐標為(2,3)
∴DM∥BC。
∴四邊形BCDM為直角梯形。
由∠BCD=90º及題意可知,
以BC為一底時,頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;
以CD為一底或以BD為一底,且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。
綜上所述,符合條件的點M的坐標為(2,3)。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源:2011年陜西省西安音樂學院初一上學期期末考試數(shù)學卷 題型:解答題
如圖,已知拋物線與軸交于點,,與y軸交于點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標;
(2)設(shè)直線CD交軸于點E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點P,使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由
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科目:初中數(shù)學 來源:2011年陜西省西安音樂學院初一上學期期末考試數(shù)學卷 題型:解答題
如圖,已知拋物線與軸交于點,,與y軸交于點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標;
(2)設(shè)直線CD交軸于點E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點P,使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由
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科目:初中數(shù)學 來源:2010年湖北省黃岡市初二上學期期末數(shù)學卷 題型:解答題
如圖,已知拋物線與軸的兩個交點為A、B,與軸交于點C
(1)求A、B、C三點的坐標?
(2)用配方法求該二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標?
(3)若坐標平面內(nèi)的點M,使得以點M和三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形,求點M的坐標?(直接寫出M的坐標,不用說明)
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