Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），P、Q分別是x、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C出發(fā)，在線段CB上以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從A出發(fā)，在線段AO上以2個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)O 移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ平分四邊形OABC的面積？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥OB？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）由A，B及C的坐標(biāo)得出BC，OA及OC的長(zhǎng)，利用梯形的面積公式求出梯形OABC的面積，當(dāng)PQ平分四邊形OABC面積時(shí)，梯形OCPQ面積為梯形OABC面積的一半，由CP=t，OQ=OA-AQ表示出OQ，利用梯形的面積公式列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到滿(mǎn)足題意t的值；
（2）當(dāng)PQ垂直于OB時(shí)，過(guò)P作PM垂直于OA于M點(diǎn)，易得三角形OBC與三角形PMQ相似，由相似得比例，將各自的值代入得到關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到滿(mǎn)足題意t的值；
（3）當(dāng)PQ平行于AB時(shí)，由PB與AQ平行，利用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ABPQ為平行四邊形，可得出PB=AQ，由PB=BC-CQ表示出PB，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到滿(mǎn)足題意的t的值；
（4）分三種情況考慮：當(dāng)OP=PQ時(shí)；當(dāng)OQ=PQ時(shí)；當(dāng)OP=OQ時(shí)，分別列出關(guān)于t的方程，即可得到所有滿(mǎn)足題意t的值．
解答：解：（1）由題意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3，
則S_{梯形OABC的面積}=×（4+8）×3=18，
當(dāng)PQ平分梯形OABC的面積時(shí)，S_{梯形CPQO的面積}=×（t+8-2t）×3=9，
解得：t=2，
則當(dāng)t=2時(shí)，PQ平分四邊形OABC的面積；
（2）當(dāng)PQ⊥OB時(shí)，作PM⊥OA于點(diǎn)M，

∵∠BPM=∠PEB=90°，∠PNE=∠BNP，
∴△PNE∽△BNP，
∴∠NPE=∠NBP，又∠PMQ=∠BCO=90°，
∴△PMQ∽△BCO，
∴=，
又∵PM=CO=3，BC=4，MQ=OA-OM-AQ=OA-CP-AQ=8-t-2t=8-3t，
∴=，
解得：t=，
則當(dāng)t=時(shí)，PQ⊥OB；
（3）∵當(dāng)PQ∥AB時(shí)，由PB∥AQ，得到四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴BP=AQ，
又∵BP=BC-CP=4-t，AQ=2t，
∴4-t=2t，
解得：t=，
則當(dāng)t=時(shí)，PQ∥AB；
（4）分三種情況考慮：
（i）當(dāng)OP=PQ時(shí)，作PF⊥OA于F，可得OF=FQ，

又∵OF=CP=t，F(xiàn)Q=OA-OF-AQ=8-t-2t=8-3t，
即t=8-3t，
解得：t=2；
（ii）當(dāng)OP=OQ時(shí)，OQ=8-2t，
在Rt△CPO中，根據(jù)勾股定理得：OP²=OC²+CP²=3²+t²，
則3²+t²=（8-2t）²，
解得：t₁=（不合題意，舍去），t₂=，
故t=；
（iii）當(dāng)QO=QP時(shí)，OQ=8-2t，PF=OC=3，F(xiàn)Q=8-3t，
∵在Rt△PQF中，根據(jù)勾股定理得：QP²=PF²+FQ²=3²+（8-3t）²，
∴3²+（8-3t）²=（8-2t）²，
解得t₁=，t₂=，
綜上所述，當(dāng)t=2或t=或t=或t=時(shí)，△OPQ是等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．