Question

3．由示意圖可見，拋物線y=x²+px+q若有兩點A（a，y_l）、B（b，y₂）（其中a＜b）在x軸下方，則拋物線必與x軸有兩個交點C（x₁，O）、D（x₂，O）（其中x_l＜x₂），且滿足x_l＜a＜b＜x₂．當(dāng)A（1，-2005），且x_l、x₂均為整數(shù)時，求二次函數(shù)的表達式．

Answer 1

分析 因為拋物線與x軸有兩個交點C（x₁，O）、D（x₂，O）（其中x_l＜x₂），所以可設(shè)拋物線解析式為y=（x-x₁）（x-x₂），再把A點（1，-2005）代入函數(shù)的解析式可整理得：-2005=（1-x₁）（1-x₂），又因為x_l、x₂均為整數(shù)，所以可求出滿足題意的x_l、x₂的值，進而可求出二次函數(shù)的表達式．

解答 解：
∵拋物線與x軸有兩個交點C（x₁，O）、D（x₂，O）（其中x_l＜x₂），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=（x-x₁）（x-x₂），
把A（1，-2005）代入y=（x-x₁）（x-x₂），得-2005=（1-x₁）（1-x₂）．
由x_l、x₂為整數(shù)，且2005=5×401得$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=-2005}\\{1-{x_2}=1}\end{array}}\right.$；$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=1}\\{1-{x_2}=-2005}\end{array}}\right.$；$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=401}\\{1-{x_2}=-5}\end{array}}\right.$；$\left\{{\begin{array}{l}{1-{x_1}=5}\\{1-{x_2}=-401}\end{array}}\right.$
分別解得：x₁=-2004，x₂=2，則y=x²+2002x-4008；x₁=0，x₂=2006，則y=x²+2006x；
x₁=-400，x₂=6，則y=x²+394x-2004；x₁=-4，x₂=402，則y=x²+398x-1608．
經(jīng)檢驗，所求的拋物線有以下4條：
y=x²+2002x-4008；y=x²+2006x；y=x²+394x-2004；y=x²+398x-1608．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合性題目，熟知二次函數(shù)的三種表達形式分別是：一般式、交點式、頂點式是解題的關(guān)鍵，