Question

4．一透明的敞口正方體容器ABCD-A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE=α，如圖所示）．

探究：如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖②．
解決問題：
（1）CQ與BE的位置關(guān)系是CQ∥BE，BQ的長是3dm，α=37°（注：sin49°=cos41°=$\frac{3}{4}$，tan37°=$\frac{3}{4}$）
（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液=底面積SBCQ×高AB）
（3）在圖1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出．圖3或圖4是其正面示意圖，若液面與棱C′C或CB交于點P、點Q始終在棱BB′上，設(shè)PC=x，BQ=y，分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的α的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的長；
（2）液體正好是一個以△BCQ是底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積；
（3）根據(jù)液體體積不變，當(dāng)0°≤α≤37°時，列方程$\frac{1}{2}$（x+y）×4×4=24和當(dāng)37°＜α≤53°時，列方程$\frac{1}{2}$×y×（4-x）×4=24，求解即可．

解答 解：（1）∵液體的形狀為直三棱柱，
∴CQ∥BE，
根據(jù)勾股定理得．BQ=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=$\frac{3}{4}$，
∴α=∠BCQ=37°．
故答案為CQ∥BE，3，37°．
（2）V_液=$\frac{1}{2}$×3×4×4=24（dm³）；
（3）當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時，0°≤α≤37°，
∵液體體積不變，
∴$\frac{1}{2}$（x+y）×4×4=24，
∴y=-x+3．
當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時，37°＜α≤53°，
∵液體體積不變，
∴$\frac{1}{2}$×y×（4-x）×4=24，
∴y=$\frac{12}{4-x}$；
當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿，即點Q與點B′重合時，如圖5，

∵BB′=4，且$\frac{1}{2}$PB•BB′×4=24，
∴PB=3，
∴tan∠PB′B=$\frac{3}{4}$，
∴∠PB′B=37°．
∴α=∠B′PB=53°．
此時37°≤α≤53°；

點評 本題是幾何變換綜合題，主要考查了四邊形的體積計算以及三視圖的認(rèn)識，正確理解棱柱的體積的計算是關(guān)鍵．