如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=
1
2
x+
3
2
與直線y=x交于點A,點B在直線y=
1
2
x+
3
2
上,∠BOA=90°.拋物線y=ax2+bx+c過點A,O,B,頂點為點E.
(1)求點A,B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點E的坐標(biāo);
(3)設(shè)直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C,直線BC交拋物線于點D,過點E作FEx軸,交直線AB于點F,連接OD,CF,CF交x軸于點M.試判斷OD與CF是否平行,并說明理由.
(1)由直線y=
1
2
x+
3
2
與直線y=x交于點A,得
y=x
y=
1
2
x+
3
2

解得,
x=3
y=3
,
∴點A的坐標(biāo)是(3,3).
∵∠BOA=90°,
∴OB⊥OA,
∴直線OB的解析式為y=-x.
又∵點B在直線y=
1
2
x+
3
2
上,
y=-x
y=
1
2
x+
3
2
,
解得,
x=-1
y=1

∴點B的坐標(biāo)是(-1,1).
綜上所述,點A、B的坐標(biāo)分別為(3,3),(-1,1).

(2)由(1)知,點A、B的坐標(biāo)分別為(3,3),(-1,1).
∵拋物線y=ax2+bx+c過點A,O,B,
9a+3b+c=3
c=0
a-b+c=1
,
解得,
a=
1
2
b=-
1
2
c=0
,
∴該拋物線的解析式為y=
1
2
x2-
1
2
x,或y=
1
2
(x-
1
2
2-
1
8

∴頂點E的坐標(biāo)是(
1
2
,-
1
8
);

(3)OD與CF平行.理由如下:
由(2)知,拋物線的對稱軸是x=
1
2

∵直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C,
∴C(
1
2
1
2
).
設(shè)直線BC的表達式為y=kx+b(k≠0),把B(-1,1),C(
1
2
1
2
)代入,得
-k+b=1
1
2
k+b=
1
2
,
解得,
k=-
1
3
b=
2
3
,
∴直線BC的解析式為y=-
1
3
x+
2
3

∵直線BC與拋物線交于點B、D,
∴-
1
3
x+
2
3
=
1
2
x2-
1
2
x,
解得,x1=
4
3
,x2=-1.
把x1=
4
3
代入y=-
1
3
x+
2
3
,得y1=
2
9

∴點D的坐標(biāo)是(
4
3
,
2
9
).
如圖,作DN⊥x軸于點N.
則tan∠DON=
DN
ON
=
1
6

∵FEx軸,點E的坐標(biāo)為(
1
2
,-
1
8
).
∴點F的縱坐標(biāo)是-
1
8

把y=-
1
8
代入y=
1
2
x+
3
2
,得x=-
13
4

∴點F的坐標(biāo)是(-
13
4
,-
1
8
),
∴EF=
1
2
+
13
4
=
15
4

∵CE=
1
2
+
1
8
=
5
8
,
∴tan∠CFE=
CE
EF
=
1
6
,
∴∠CFE=∠DON.
又∵FEx軸,
∴∠CMN=∠CFE,
∴∠CMN=∠DON,
∴ODCF,即OD與CF平行.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象經(jīng)過點A(-1,-1)和B(3,-9).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)填空:該拋物線的對稱軸是______;頂點坐標(biāo)是______;當(dāng)x=______時,y隨x的增大而減小.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線的頂點為M(2,-4),且過點A(-1,5),連接AM交x軸于點B.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求點B的坐標(biāo);
(3)設(shè)點P(x,y)是拋物線在x軸下方、頂點左方一段上的動點,連接PO,以P為頂點、PO為腰的等腰三角形的另一頂點Q在x軸的垂線交直線AM于點R,連接PR,設(shè)△PQR的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)在上述動點P(x,y)中,是否存在使S△PQR=2的點?若存在,求點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

二次函數(shù)y=-x2+kx+3的圖象與x軸交于點(3,0)
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)畫出這個函數(shù)的圖象.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”,如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點,那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖,點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點,已知點D的坐標(biāo)為(0,-3),AB為半圓的直徑,半圓圓心M的坐標(biāo)為(1,0),半圓半徑為2.
(1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)開動腦筋想一想,相信你能求出經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式.
(3)如果直線x=m在線段OB上移動,交x軸于點D,交拋物線于點E,交BD于點F.連接DE和BE后,對于問題“是否存在這樣的點E,使△BDE的面積最大?”小明同學(xué)認(rèn)為:“當(dāng)E為拋物線的頂點時,△BDE的面積最大.”他的觀點是否正確?提出你的見解,若△BDE的面積存在最大值,請求出m的值以及點E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=
1
4
x2+1(如圖所示).
(1)填空:拋物線的頂點坐標(biāo)是(______,______),對稱軸是______;
(2)已知y軸上一點A(0,2),點P在拋物線上,過點P作PB⊥x軸,垂足為B.若△PAB是等邊三角形,求點P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點M在直線AP上.在平面內(nèi)是否存在點N,使四邊形OAMN為菱形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知直線y=-
1
2
x+1交坐標(biāo)軸于A,B兩點,以線段AB為邊向上作正方形ABCD,過點A,D,C的拋物線與直線另一個交點為E.

(1)請直接寫出點C,D的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)若正方形以每秒
5
個單位長度的速度沿射線AB下滑,直至頂點D落在x軸上時停止.設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍;
(4)在(3)的條件下,拋物線與正方形一起平移,同時停止,求拋物線上C,E兩點間的拋物線弧所掃過的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過點A(-3
3
,0
),B(
3
,0
)與y軸交于點C,設(shè)拋物線的頂點為D,在△BCD中,邊CD的高為h.
(1)若c=ka,求系數(shù)k的值;
(2)當(dāng)∠ACB=90°,求a及h的值;
(3)當(dāng)∠ACB≥90°時,經(jīng)過探究、猜想請你直接寫出h的取值范圍.
(不要求書寫探究、猜想的過程)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

為了改善小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠墻,另三邊用總長為40m的柵欄圍。ㄈ鐖D4).若設(shè)綠化帶的BC邊長為xm,綠化帶的面積為ym2
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時,滿足條件的綠化帶的面積最大.

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同步練習(xí)冊答案