Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，AE切⊙O于點A，交BC的延長線于點E，連接AC．求證：AE²=EB•EC．

Answer 1

證明：∵AE切⊙O于點A，AB為⊙O的直徑，
∴∠BAE=90°，∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BAE=90°．
又∵∠E=∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB，
∴，
∴AE²=EB•EC．
分析：由于AE是切線，利用弦切角定理可知∠EAC=∠EBA，再加上一對公共角，容易證出△EAC∽△EBA，那么可得比例線段，即可證．
點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質等知識．