Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，點D是線段BC上一點，DC=3，沿過點D的直線折疊三角形，使點B落在斜邊AC所在直線上，點B的對應點E到點A的距離是$\frac{38}{5}$-$\frac{2\sqrt{138}}{5}$．

Answer 1

分析 作DF⊥AC于F，欲求AE，因為AE=AC-EF-CF，所以只要求出EF，CF，利用△CDF∽△CAB得$\frac{DF}{AB}=\frac{CF}{BC}=\frac{CD}{AC}$，可以求出CF，DF，再利用勾股定理求出EF即可．

解答 解：如圖作DF⊥AC于F，
在RT△ABC中，∵AC=10，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠C=∠C，∠DFC=∠ABC=90°，
∴△CDF∽△CAB，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CF}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{DF}{6}=\frac{CF}{8}=\frac{3}{10}$，
∴DF=$\frac{9}{5}$，CF=$\frac{12}{5}$，
∵BD=DE=5，
在RT△DEF中，∵DE=5，DF=$\frac{9}{5}$，
∴EF=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{9}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{34}}{5}$，
∴AE=AC-EF-FC=10-$\frac{12}{5}$-$\frac{4\sqrt{34}}{5}$=$\frac{38}{5}$-$\frac{4\sqrt{34}}{5}$．
故答案為$\frac{38}{5}$-$\frac{4\sqrt{34}}{5}$．

點評 本題考查翻折變換、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造相似三角形，記住翻折不變性，屬于中考�？碱}型．