Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試說明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；

（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．

證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF

∴AF=BC，

在Rt△AFE和Rt△BCA中，

，

∴△AFE≌△BCA（HL），

∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∵AC=EF，AC=AD，

∴EF=AD，

∴四邊形ADFE是平行四邊形．