Question

2．已知正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD、BC于點E、F，作BH⊥AF，垂足為H，BH的延長線分別交AC、CD于點G、P．
（1）求證：AE=BG；
（2）求證：GO•AG=CG•AO．

Answer 1

分析 （1）利用“ASA”證明△OAE≌△OBG可得到AE=BG；
（2）由△OAE≌△OBG得到OG=OE，再由AB∥CD得到PC：AB=CG：AG，即PC：BC=CG：AG，再證明Rt△OAE∽Rt△CBP得到OA：BC=OE：PC，用等線段代換得到PC：BC=OG：OA，利用等量代換得到OG：OA=CG：AG，然后利用比例性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=90°，
∵∠GAH+∠AGH=90°，∠OBG+∠AGH=90°，
∴∠GAH=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBG}\\{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOG}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBG（ASA），
∴AE=BG；
（2）∵△OAE≌△OBG，
∴OG=OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD
∴PC：AB=CG：AG，
∴PC：BC=CG：AG，
∵∠AHG=∠ABC=90°
∴∠FAB+∠ABH=∠CBP+∠ABH=90°，
∴∠FAB=∠CBP，
∵AF平分∠CAB，
∴∠FAC=∠FAB，
∴∠FAC=∠CBP，
∴Rt△OAE∽Rt△CBP，
∴OA：BC=OE：PC，
∵OE=OG，
即PC：BC=OG：OA，
∴OG：OA=CG：AG，
即GO•AG=CG•AO．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩個三角形相似對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用正方形的性質(zhì)和利用結(jié)論找相似三角形．