Question

13．如圖，P為正方形ABCD的邊AB上的一個動點（點P不與A、B重合），連結(jié)PC，作BE⊥PC，DF⊥PC，垂足分別為點E、F，已知AD=5．
（1）求BE²+DF²的值；
（2）過點P作PM∥DF交AD于點M，問：點P在何位置時線段AM最長，并求出此時AM的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC=DC=AD=5，∠BCD=90°，再利用等角的余角相等得到∠BCE=∠CDF，即可根據(jù)AAS證得△BCE≌△CDF，得出CE=DF，在RT△CBE中，根據(jù)勾股定理得出CE²+BE²=BC²=5²，從而求得BE²+DF²=25；
（2）設(shè)AP=x，則PB=5-x，證明RT△PAM∽RT△BCP，利用相似比得AM=$\frac{1}{5}$x²+x，變形得到AM=$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，即可求得P的位置以及最大值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC=AD=5，∠BCD=90°，
∵BE⊥PC，DF⊥PC，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CFD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CDF（AAS），
∴CE=DF，
在RT△CBE中，∵CE²+BE²=BC²=5²，
∴BE²+DF²=25；
（2）設(shè)AP=x，則PB=5-x，
∵PM∥DF，
∴PM⊥PC，
∴∠APM+∠BPC=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPC=∠AMP，
∴△APM∽△BCP，
∴$\frac{AM}{PB}$=$\frac{AP}{BC}$，即$\frac{AM}{5-x}$=$\frac{x}{5}$，
∴AM=$\frac{1}{5}$x²+x=$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時，AM最大，最大值為$\frac{5}{4}$，
即P點在中點處，線段AM最長，此時AM的值為$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值，三角形全等的判定和三角形相似的判定是解題的關(guān)鍵．