Question

如圖，若直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點A(

5

2

，0)，與雙曲線y=

m

x

(m≠0)在第二象限交于點B，且OA=OB，△OAB的面積為

5

2

（1）求直線AB的解析式及雙曲線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值．

Answer 1

分析：（1）由直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點A(

5

2

，0)，可得出OA的長，再根據(jù)OA=OB，可知OB=

5

2

，過點B作BM⊥x軸于點M，由△OAB的面積為

5

2

，可得出BM的長，在Rt△OBM中利用勾股定理可得出OM的長，進而求出B點坐標．再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式；
（2）求tan∠ABO的值，即在Rt△ABM中tan∠ABO=tan∠BAM=

BM

AM

．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b（k≠0）與x軸交于點A(

5

2

，0)，
∴OA=

5

2

，
又∵OA=OB，
∴OB=

5

2

，
過點B作BM⊥x軸于點M，
∵△OAB的面積為

5

2

，即

1

2

OA•BM=

5

2

，
∴BM=2，在Rt△OBM中可求OM=1.5，
∴B（-1.5，2），
再根據(jù)待定系數(shù)法可得：

5 2 k+b=0 - 3 2 k+b=2

，
解得：k=-

1

2

，b=

5

4

，
∴直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+

5

4

；
再將點B代入函數(shù)y=

m

x

(m≠0)得：m=-3，
∴雙曲線的解析式為：y=-

3

x

；

（2）∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAM，
在Rt△ABM中，BM=2，∴MO=

3

2

，AM=

3

2

+

5

2

=4，
∴tan∠ABO=tan∠BAM=

BM

AM

=

1

2

．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，涉及面較廣，難度適中．