Question

4．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過(guò)M′點(diǎn)作M′N(xiāo)′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N(xiāo)′為所求的最小值，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知M′H=M′N(xiāo)′，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過(guò)M′點(diǎn)作M′N(xiāo)′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N(xiāo)′為所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴M′H=M′N(xiāo)′，
∴BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離（垂線段最短），
∵AB=2，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N(xiāo)′=BM′+M′H=BH=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．