Question

張亮是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線y=ax²（a＞0）的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角形的直角頂點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，請解答以下問題：
（1）若測得OA=OB=2

2

，（如圖1），求a的值；
（2）對于同一條拋物線，張亮將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，測得OD=1，寫出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；
（3）對該拋物線，張亮將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，可證△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．
（3）設(shè)A（-m，

1

2

m²）（m＞0），B（n，

1

2

n²）（n＞0），易知△ACO∽△ODP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（0，2）．

解答：解：（1）設(shè)線段AB與y軸的交點(diǎn)為C，由拋物線的對稱性可得C為AB中點(diǎn)，
∵OA=OB=2

2

，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，2），
將B（2，2）代入拋物線y=ax²（a＞0）得a=

1

2

；
（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∴B（1，

1

2

），
∴BD=

1

2

．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△ODB，
∴

AE

OE

=

OD

BD

=2，
即AE=2OE，
設(shè)點(diǎn)A（-m，

1

2

m²）（m＞0），則OE=m，AE=

1

2

m²，
∴

1

2

m²=2m，
∴m=4，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4．
（3）設(shè)A（-m，

1

2

m²）（m＞0），B（n，

1

2

n²）（n＞0），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則

-mk+b= 1 2 m2 nk+b= 1 2 n2

，
（1）×n+（2）×m得，（m+n）b=

1

2

（m²n+mn²）=

1

2

mn（m+n），
∴b=

1

2

mn，
又易知△AEO∽△ODB，
∴

AE

OD

=

OE

BD

，
∴

0.5m2

n

=

m

0.5n2

，
∴mn=4，
∴b=

1

2

×4=2，由此可知交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（0，2）．

點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，有等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．