Question

17．閱讀并完成下面的數(shù)學(xué)探究：
（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，小穎把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結(jié)論．
（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時，仍有EF=BE+FD．
（3）【結(jié)論應(yīng)用】如圖（3），四邊形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，點E、F分別在邊BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（$\sqrt{3}-1$），連E、F，求EF的長（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，證明結(jié)論；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADH，使AB與AD重合，證明△EAF≌△HAF，證明即可；
（3）延長BA交CD的延長線于P，連接AF，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，得到∠P=90°，求出PD、PA，證明∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，又（2）的結(jié)論得到答案．

解答 （1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△ABE≌△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴G、D、F在同一條直線上，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAG=90°，又∠EAF=45°，
∴∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=FG，
∴EF=BE+FD；
（2）當(dāng)∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時，仍有EF=BE+FD．
證明：如圖（2），把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADH，使AB與AD重合，
則BE=DH，∠BAE=∠DAH，∠ADH=∠B，又∠B+∠D=180°，
∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一條直線上，
當(dāng)∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時，∠EAF=∠HAF，
由（1）得，△EAF≌△HAF，
則EF=FH，即EF=BE+FD，
故答案為：∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD；
（3）如圖（3），延長BA交CD的延長線于P，連接AF，
∵∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，
∴∠C=30°，
∴∠P=90°，又∠ADC=120°，
∴∠ADP=60°，
∴PD=AD×cos∠ADP=40，AP=AD×sin∠ADP=40$\sqrt{3}$，
∴PF=PD+DF=40$\sqrt{3}$，
∴PA=PF，
∴∠PAF=45°，又∠PAD=30°，
∴∠DAF=15°，
∴∠EAF=75°，∠BAE=60°，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
由（2）得，EF=BE+FD，又BE=BA=80，
∴EF=BE+FD=40（$\sqrt{3}+1$）．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的四條邊都相等、四個角都是直角，旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角相等、旋轉(zhuǎn)后的三角形與原三角形全等是解題的關(guān)鍵．