Question

18．直線y=-$\frac{1}{2}$x+4與x軸，y軸交于A，B兩點．點P（m，0）是線段OA上的一動點（能與點O，A重合），若以OP為直徑的圓與直線AB有公共點，則m的取值范圍是$4\sqrt{5}-4$≤m≤8．

Answer 1

分析 由一次函數(shù)的解析式求出點A和B的坐標，由勾股定理求出AB，設以OP為直徑的圓的圓心為D，作DM⊥AB于M，證明△ADM∽△ABO，得出對應邊成比例$\frac{DM}{OB}=\frac{DA}{AB}$，當以OP為直徑的圓與直線AB相切時，OD=DM，設OD=DM=x，則DA=8-x，求出OD，得出OP，即可得出結果．

解答 解：∵y=-$\frac{1}{2}$x+4，當x=0時，y=4；當y=0時，x=8，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
設以OP為直徑的圓的圓心為D，作DM⊥AB于M，如圖所示：
則∠DMA=90°=∠BOA，
∵∠DAM=∠BAO，
∴△ADM∽△ABO，
∴$\frac{DM}{OB}=\frac{DA}{AB}$，
當以OP為直徑的圓與直線AB相切時，OD=DM，
設OD=DM=x，則DA=8-x，
∴$\frac{x}{4}=\frac{8-x}{4\sqrt{5}}$，
解得：x=2$\sqrt{5}$-2，
∴OP=2x=4$\sqrt{5}$-4，
∴m=4$\sqrt{5}$-4；
若以OP為直徑的圓與直線AB有公共點，則m的取值范圍是$4\sqrt{5}-4$≤m≤8；
故答案為：$4\sqrt{5}-4$≤m≤8．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征；通過作輔助線求出以OP為直徑的圓與直線AB相切時OP的長是解決問題的關鍵．