已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）當(dāng)直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑.

 

【答案】

（1）證明見解析（2）

【解析】（1）證明：連接OE，則OB=OE．………………1分

∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠C=60°.

∴△OBE是等邊三角形.

∴∠OEB=∠C =60°.  ∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°．

∴∠OEF=∠EFC=90°．

∴EF是⊙O的切線．……………………4分

（2）連接DF, 

∵DF是⊙O的切線，   ∴∠ADF=90°．

設(shè)⊙O的半徑為r，則BE=r，EC=，AD=．

在Rt△ADF中，∵∠A=60°，    ∴AF=2AD=．

∴FC=．

在Rt△CEF中  ∵∠C=60°， ∴EC=2FC  

 ∴=2（）．

解得．∴⊙O的半徑是．…………………………8分

注：其他解法對應(yīng)給分。

（1）連接OE，利用等邊三角形的性質(zhì)求出OE∥AC，從而求得∠OEF=90°，得出結(jié)論

（2）連接DF，利用切線的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)求⊙O的半徑

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：△ABC是邊長為1的等邊三角形，D是射線BC上一動點（與點B、C不重合），以AD為一邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．
（1）當(dāng)點D在線段BC上運動時（如圖1），求證：①EC=DB；②EC∥AB；
（2）當(dāng)點D在線段BC的延長線上運動時（如圖2），②中的結(jié)精英家教網(wǎng)論是否仍然成立？請說明理由；
（3）當(dāng)EC=2時，求△ABC與△ADE的面積比．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動．
（1）如圖1，設(shè)點P的運動時間為t（s），那么t=
 
（s）時，△PBC是直角三角形；
（2）如圖2，若另一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t（s），那么t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t（s），那么t為何值時，△DCQ是等腰三角形？
（4）如圖4，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D，連接PC．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．請你猜想：在點P、Q的運動過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系？并說明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•德化縣模擬）如圖，已知：△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形，四邊形DEFG是邊長為3的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以每秒
1
2
個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，當(dāng)點C與點F重合時暫停運動，設(shè)△ABC的運動時間為t秒（t≥0）．
（1）在運動過程中，設(shè)AC交DE于點P，PE=
3
2
3
2
t；
（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，
①當(dāng)t為何值時，S等于△ABC面積的三分之一；
②當(dāng)點A在DG上運動時，請求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（3）如圖2，若四邊形DEFG是邊長為2
3
的正方形，△ABC的移動速度為每秒
3
2
個單位長度，其余條件保持不變．△ABC開始移動的同時，Q點從F點開始，沿折線F-G-D以每秒
3
個單位長度開始移動，△ABC停止運動時，Q點也停止運動．設(shè)在運動過程中，DE交折線B-A-C于P點，則是否存在t的值，使得PC與EQ互相垂直？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013屆度安徽省望江縣七年級第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué) 題型：解答題

(9分)已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且

分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）當(dāng)直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑.

 

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