Question

已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）如圖1，判斷CE和BD位置關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖所示的△AC′E′的位置，連接BE′、DC′，過點(diǎn)A作AN⊥BE′于點(diǎn)N，反向延長AN交DC′于點(diǎn)M．求

DM

DC′

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，可得出∠C+∠D=90°，從而得出CE⊥BD；
（2）過C′作C′G⊥AM于G，過D作DH⊥AM交延長線于點(diǎn)H．可證明△ANE′≌△C′GA，得出AN=C′G；由△BNA≌△AHD，得出AN=DH．則C′G=DH．再證明△C′GM≌△DHM，即可得

DM

DC′

的值．

解答：解：（1）CE⊥BD．如圖1，延長CE交BD于M，設(shè)AB與EM交于點(diǎn)F．

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
又∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
∴∠ACE=

180°-∠CAE

2

，∠ABD=

180°-∠BAD

2

，
∴∠ACE=∠ABD．
又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠BFM=90°，
∴∠BMC=90°，
∴CE⊥BD．
（2）如圖2，過C′作C′G⊥AM于G，過D作DH⊥AM交延長線于點(diǎn)H．

∵∠E′NA=∠AGC′=90°，
∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，
∴∠NE′A=∠C′AG，
∵AE′=AC′，
在△ANE′和△C′GA中，

∠E′NA=∠AGC′ ∠NE′A=∠C′AG AE′=AC′

，
∴△ANE′≌△C′GA（AAS），
∴AN=C′G．
同理可證△BNA≌△AHD，AN=DH．
∴C′G=DH．
在△C′GM與△DHM中，

∠C′GM=∠DHM=90° ∠C′MG=∠DMH C′G=DH

，
∴△C′GM≌△DHM（AAS），
∴C′M=DM，
∴

DM

DC′

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了幾何變換綜合題，解題的關(guān)鍵是正確作了輔助線，靈活利用三解形全等求出線段關(guān)系．