Question

12．閱讀材料：解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0過程：
設x²-1=y，則原方程可化為y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．
當y=1時，x²-1=1，解得x=±$\sqrt{2}$；當y=4時，x²-1=4，解得x=±$\sqrt{5}$．
故原方程的解為x₁=$\sqrt{2}，\;\;{x_2}=-\sqrt{2}，\;\;{x_3}=\sqrt{5}，\;\;{x_4}=-\sqrt{5}$．
由原方程得到①的過程，利用換元法達到了簡化方程的目的，體現(xiàn)了整體轉化的數(shù)學思想．
解答下列問題：
（1）利用換元法解方程：（x²+x）²+2（x²+x）-8=0；
（2）Rt△ABC的三邊是a，b，c，其中斜邊c=4，兩直角邊a，b滿足（a+b）²-7（a+b）+10=0，求Rt△ABC的周長和面積．

Answer 1

分析 （1）先設y=x²+x，則原方程變形為y²+2y-8=0，運用因式分解法解得y₁=-4，y₂=2，再把y=-4和2分別代入y=x²+x得到關于x的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解；
（2）首先設x=a+b，求得方程x²-7x+10=0的解，得出a+b的數(shù)值，根據(jù)勾股定理可得a²+b²=c²，再利用完全平方公式整理得到ab，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）設y=x²+x，
原方程變形為y²+2y-8=0，
（y+4）（y-2）=0，
解得y₁=-4，y₂=2，
當y=-4時，x²+x=-4，x²+x+4=0，△=1-4×4＜0，此方程無實數(shù)解；
當y=2時，x²+x=2，x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，
所以原方程的解為x₁=-2，x₂=1．
（2）設x=a+b，則原方程為x²-7x+10=0，
解得：x=2或x=5，
即a+b=2，a+b=5，由斜邊c=4，舍去a+b=2，
Rt△ABC的周長為4+5=9；
由勾股定理得a²+b²=4²，
則（a+b）²-2ab=16
解得：ab=$\frac{9}{2}$，
因此Rt△ABC的面積=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了換元法解一元二次方程，勾股定理的運用．我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．