Question

（2009•德州）如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E．
求證：四邊形OBEC是菱形．

Answer 1

【答案】分析：易得△AOC是等邊三角形，則∠AOC=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AEC=30°；根據(jù)切線的性質得到OC⊥l，則有OC∥BD，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB=90°，則∠EAB=30°，可證得AB∥CE，得到四邊形OBEC為平行四邊形，再由OB=OC，即可判斷四邊形OBEC是菱形．
解答：證明：在△AOC中，AC=2，
∵AO=OC=2，
∴△AOC是等邊三角形．
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；
而DC為⊙O的切線，
∴OC⊥l，
而BD⊥l，
∴OC∥BD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB=30°，
∴∠EAB=∠AEC．
∴AB∥CE．
∴四邊形OBEC為平行四邊形．
又∵OB=OC=2．
∴四邊形OBEC是菱形．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理及其推論以及菱形的判定方法．