Question

18．在△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點，將線段DC繞點D旋轉(zhuǎn)，得到線段DE，連接AE，CE；
（1）如圖①，判斷△ACE的形狀，并證明；
（2）如圖②，連接BE，當BE平分∠ABC時，求證：ED⊥AC；
（3）在（2）的條牛下，H為△ACE內(nèi)一點，且滿足∠AHC=135°，過E作EM⊥CH，若EM=3，求CH的長度．

Answer 1

分析 （1）有旋轉(zhuǎn)得出DC=DE，又由中點得出DA=DC，從而得出DE=$\frac{1}{2}$AC，即可；
（2）先判斷出點A，B，C，E四點共圓，用同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系即可得出∠ADE=∠CDE=90°，
（3）先判斷出∠CAN=∠ECM，從而得出△ACN∽△CEM，求出CN，再用等腰直角三角形的性質(zhì)得出CH．

解答 解：（1）∵將線段DC繞點D旋轉(zhuǎn)，得到線段DE，
∴DC=DE，
∵D為AC中點，
∴DA=DC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴△ACE是直角三角形，
（2）如圖1，以AC為直徑作圓，

由（1）有，△ACE是直角三角形，
∴∠AEC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠AEC=180°，
∴點A，B，C，E四點共圓，
∵點D是AC中點，
∴點D是圓心，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∴$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，
∴∠ADE=∠CDE=90°，
∴ED⊥AC，
（3）如圖2，延長AH交圓與N，連接CN，

由（2）∠ADE=90°，
∴∠CAE=45°，
∴∠CAN+∠EAN=45°，
∵∠AHC=135°，
∴∠CHN=45°，
∵AC為⊙D的直徑，
∴∠ANC=90°，
∴∠NCM=45°，
∴∠MCE+∠NCE=45°，
∵∠EAN=∠ECN，
∴∠CAN=∠ECM，
∵∠ANC=∠CME，
∴△ACN∽△CEM，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{CN}{EM}$，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∵AC=2CD，EM=3，
∴$\frac{2CD}{\sqrt{2}CD}=\frac{CN}{3}$，
∴CN=3$\sqrt{2}$，
∵△CNH為等腰直角三角形，
∴CH=$\sqrt{2}$CN=6．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，四點共圓的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出點A，B，C，E四點共圓，判斷△ACN∽△CEM是解本題的難點．