Question

1．△ABC中，∠BAC=90°，分別以AB、AC為邊，得到等邊△ABD、等邊△ACE．過A作AH⊥BC于點H．求證：
（1）S_△ABD：S_△ACE=BH：CH；
（2）AE：AH=BD：BH；
（3）△ADH∽△CEH；
（4）判斷DH和EH的關系．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到AB=BD=AD，AC=CE=AE，∠3=∠4=∠5=∠8=60°，根據直角三角形的性質得到∠2=∠6，∠1=∠7，推出△ABH∽△ABC∽△ACH，于是得到$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BH}{AB}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}$由等邊△ABD∽等邊△ACE，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到$\frac{AC}{AH}=\frac{AB}{BH}$，由于AB=BD，AC=AE，等量代換即可得到結論；
（3）連接DH，EH，同（2）可證AC：HC=AB：AH，等量代換得到CE：HC=AD：AH，根據∠3=∠8，∠1=∠7，證得∠DAH=∠ECH，于是得到△ADH∽△CEH，根據相似三角形的性質得到∠AHD=∠CHE；
（4）同（3）可證：∠DBH=∠EAH，由于$\frac{AE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，于是得到△BHD∽AHE，根據相似三角形的性質得到∠DHE=∠AHD+∠AHE=∠AHD+∠BHD=∠AHB=90°，即可得到結論．

解答 證明：（1）∵等邊△ABD和△ACE，
∴AB=BD=AD，AC=CE=AE，∠3=∠4=∠5=∠8=60°，
∵Rt△ABC，∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴∠1+∠2=∠1+∠6=∠2+∠7=90°，
∴∠2=∠6，∠1=∠7，
∴△ABH∽△ABC∽△ACH，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BH}{AB}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}$，
∴AB²=BC•BH，AC²=CH•BC，
∵等邊△ABD∽等邊△ACE，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{BC•BH}{BC•CH}$=$\frac{BH}{CH}$；

（2）∵△ABH∽△ACH，
∴$\frac{AC}{AH}=\frac{AB}{BH}$，
∵AB=BD，AC=AE，
∴AE：AH=BD：BH；

（3）連接DH，EH，同（2）可證AC：HC=AB：AH，
∴CE：HC=AD：AH，
∵∠3=∠8，∠1=∠7，
∴∠DAH=∠ECH，
∴△ADH∽△CEH，
∴∠AHD=∠CHE；

（4）同（3）可證：∠DBH=∠EAH，
∵$\frac{AE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，
∴△BHD∽△AHE，
∴∠DHE=∠AHD+∠AHE=∠AHD+∠BHD=∠AHB=90°，
∴DH⊥EH．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．