Question

已知，在△ABC中，AB=AC，點D和點E分別在AB和AC上，且AD=AE，BE和CD相交于點O．求證：點O在線段BC的垂直平分線上．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質,線段垂直平分線的性質

專題：證明題

分析：先由SAS得出△ADC≌△AEB，得出∠ACD=∠ABE，再根據AAS證明△BOD≌△COE，得出OB=OC，由線段垂直平分線的判定得出O在線段BC的垂直平分線上．

解答：證明：在△ADC和△AEB中，

AD=AE ∠A=∠A AC=AB

，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠ACD=∠ABE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE．
在△BOD與△COE中，

∠OBD=∠OCE ∠BOD=∠COE BD=CE

，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OB=OC，
∴點O在線段BC的垂直平分線上．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質，線段垂直平分線的判定，難度適中．通過證明兩套三角形全等得出OB=OC是解題的關鍵．