Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線L：y=-2x-8分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0,k)是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P。

（1）連結(jié)PA，若PA=PB，試判斷⊙P與X軸的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)K為何值時(shí)，以⊙P與直線L的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？

Answer 1

（１）由直線L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8）

設(shè)OP=X，則BP=8-X，AP=8-X

由勾股定理得  X² + 4² =（8-X）²

   解得    X = 3     -

∴ OP = R = 3    

∴⊙P與X軸相切      

（2）分兩種情況討論：

①當(dāng)圓心P在線段OB上

由⊿AOB ∽ ⊿PEB得      

  把AO=4，AB=4，PE=代入比例式得                  PB=             --------------------3分

∴  OP =  8－    ∴  K = －8   -----2分

②當(dāng)圓心P在線段OB的延長線上時(shí)：

由⊿AOB ∽ ⊿PEB同樣可得   PB=

∴  OP =  8 ＋     ∴  K = －－8  （2分）

  ∴當(dāng)K=－8或－－8時(shí)，以⊙P與直線L的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形。     --------------1分