Question

12．課題學(xué)習(xí)
問題背景1  甲、乙、丙三名同學(xué)探索課本上一道題：如圖1，E是邊長為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，
（1）①在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
②圖1中，與線段AE垂直的線段是AK⊥AE，說明你的理由．
問題背景2  如圖2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，點F為BC上一點，點E為DC上一點，∠EAF的兩邊AE、AF分別與直線BD交于點M、N，連接EF，繼續(xù)探索時，甲認為：線段BF、EF和DE之間存在著關(guān)系式EF=BF+DE；乙認為△CEF的周長是一個恒定不變的值；丙認為：線段BN、MN和DM之間存在著關(guān)系式BN²+DM²=MN²
（2）請你對甲、乙、丙三人中一個結(jié)論進行研究，作出判斷，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后所構(gòu)成的兩圖形全等畫出圖形即可；
（2）①選擇甲，延長CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED，可得出∠KAF=∠FAE，進而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性質(zhì)及BK=DE可得出EF=BF+DE；
②選擇乙，延長CB到K，使BK=DE，連AK，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性質(zhì)可得到△AKF≌△AEF，再根據(jù)BK=DE即可得出△CEF周長為定值；
③選擇丙，在AK上截取AG=AM，連接BG，GN，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN²+DM²=MN²．

解答 解：畫圖如圖1，

延長CB至K，使BK=DE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADE=∠ABK=∠BAD=90°，
∴△ADE≌△ABK，
∴∠DAE=∠BAK，
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90°，
∴AK⊥AE．
故答案為AK⊥AE．
（2）選擇甲發(fā)現(xiàn)：
證明：如圖2，

延長CB到K，使BK=DE，連AK，則△AKB≌△AED，
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF．
∴KF=EF．
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
選擇乙發(fā)現(xiàn)：
證明：如圖2，

延長CB到K，使BK=DE，連AK，則△AKB≌△AED
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
∵AK=AE，AF=AF，
∴△AKF≌△AEF．
∴KF=EF．
又∵BK=DE，
∴EF=BF+DE
△CEF周長=CF+CE+EF
=CF+CE+（BF+DE）
=（CF+BF）+（CE+DE）
=BC+DC=2a（定值）
選擇丙發(fā)現(xiàn)：
證明：如圖3，

在AK上截取AG=AM，連接BG，GN．
∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，
∴△ABG≌△ADM，
∴BG=DM，∠ABG=∠ADB=45°．
又∵∠ABD=45°，
∴∠GBD=90°．
∵∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠KAF=45°，
∴∠KAF=∠FAE．
又∵AG=AM，AN=AN，
∴△GAN≌△NAM．
∴NG=MN，
∵∠GBD=90°，
∴BG²+BN²=NG²，
∴BN²+DM²=MN²．
綜上所述：甲、乙、丙三名同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直的判定方法，解本題的關(guān)鍵是三角形的全等的判定．