Question

已知Rt△ABC，∠B=60°，AB=1，把斜邊BC放在直角坐標(biāo)系的x軸上，且頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：由于反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，點(diǎn)A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因?yàn)樾边匓C在x軸上，所以可能點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊，也可能點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊，故一共分四種情況．針對(duì)每一種情況，都可以運(yùn)用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：①當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如圖1，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴當(dāng)y=

3

2

時(shí)，x=2，∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

2

，0）；
②當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如圖2，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴當(dāng)y=

3

2

時(shí)，x=2，
∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

7

2

，0）；
③當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，如圖3，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴當(dāng)y=-

3

2

時(shí)，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

1

2

，0）；
④當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，如圖4，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴當(dāng)y=-

3

2

時(shí)，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

7

2

，0）．
故答案為：（

1

2

，0），（

7

2

，0），（-

7

2

，0），（-

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用以及30°角的直角三角形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是看到C的位置有4種不同的情況．