Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°．
（1）只用直尺和圓規(guī)作圖，首先在BC上截取BD=AB，再作BD的中垂線，分別交AB、BD于點(diǎn)E、F，連接AD，DE（保留作圖痕跡）．
（2）請找出上面所畫圖形中與△BDE相似的所有三角形，并選擇其中一對相似三角形進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點(diǎn)B為圓心，以AB長為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，再分別以B、D為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧在BC兩邊分別相交于，過兩交點(diǎn)作直線，即為BD的中垂線，然后連接AD、DE；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得EB=ED，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得∠EDB=∠B，又根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠C，從而可證△BCA與△BDE相似．
解答：解：（1）如圖所示，作出弧AD得（1分），
作出BD的中垂線得（2分），
連接AD，DE得（1分）；

（2）與△BDE相似的三角形有：△ADC和△ABC．
選擇△BCA∽△BDE．
證明如下：∵EF是BD的垂直平分線，
∴EB=ED，
∴∠EDB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDB=∠C，
∴△BCA∽△BDE．
點(diǎn)評：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了作一條線段等于已知線段，線段垂直平分線的作法，都是基本作圖，需熟練掌握，本題還考查了相似三角形的判定，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)以及等邊對等角的性質(zhì)得到相等的角是解題的關(guān)鍵．