Question

如圖：長方形ABCD中，AD=10，AB=4，點Q是BC的中點，點P在AD邊上運動，當△BPQ是等腰三角形時，AP的長為

 

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Answer 1

考點：等腰三角形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：動點型

分析：分BP=PQ、BP=BQ和BQ=PQ三種情況分別討論，再結(jié)合勾股定理求解即可．

解答：解：∵四邊形ABCD為矩形，且AD=10，
∴BQ=5，
當BP=PQ時，過P作PM⊥BQ，交BQ于點M，如圖1，

則BM=MQ=2.5，且四邊形ABMP為矩形，
∴AP=BM=2.5，
當BQ=BP時，則BP=5，在Rt△ABP中，AB=4，由勾股定理可求得AP=3，
當PQ=BQ時，以點Q為圓心，BQ為半徑作圓，于AD交于R、S兩點，如圖2，

過Q作QN⊥RS，交RS于點N，則可知RN=SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN=SN=3，
則AR=2，AS=8，
即R、S為滿足條件的P點的位置，
∴AP=2或8，
綜上可知AP為2或2.5或3或8，
故答案為：2或2.5或3或8．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．注意利用畫圓可以找到滿足條件的點．