Question

19．如圖所示，在△ABC中，點E，F(xiàn)，D分別在線段AB，AC，BC上，并且滿足∠DEF=∠DFE=∠BCA=45°，已知CF=6，CD=8，則線段EC的長為2$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 首先過點F作FM⊥BC于點M，過點E作EN⊥BC于點N，證明△FDM≌△DEN（AAS），進而得出EN=DM，ND=FM，再利用銳角三角函數(shù)關系得出FM的長，再利用勾股定理得出EC的長．

解答 解：過點F作FM⊥BC于點M，過點E作EN⊥BC于點N，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDN+∠FDM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠EDN=∠DFM，
在△FDM和△DEN中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FMD=∠END}\\{∠MFD=∠EDN}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△FDM≌△DEN（AAS），
∴EN=DM，ND=FM，
∵FC=6，∠ACB=45°，
∴FM=MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
∴DM=EN=8-3$\sqrt{2}$，ND=FM=3$\sqrt{2}$，
∴NC=8+3$\sqrt{2}$，
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{（8-3\sqrt{2}）^{2}+（8+3\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{41}$．
故答案為：2$\sqrt{41}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及銳角三角函數(shù)關系、勾股定理等知識，正確得出EN，NC的長是解題關鍵．