探究問題:
(1)閱讀理解:
①如圖(A),在已知△ABC所在平面上存在一點P,使它到三角形頂點的距離之和最小,則稱點P為△ABC的費馬點,此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離;
②如圖(B),若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上,則有AB•CD+BC•DA=AC•BD.此為托勒密定理;
(2)知識遷移:
①請你利用托勒密定理,解決如下問題:
如圖(C),已知點P為等邊△ABC外接圓的
上任意一點.求證:PB+PC=PA;
②根據(jù)(2)①的結(jié)論,我們有如下探尋△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的費馬點和費馬距離的方法:
第一步:如圖(D),在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓;
第二步:在
上任取一點P′,連接P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)=P′A+
;
第三步:請你根據(jù)(1)①中定義,在圖(D)中找出△ABC的費馬點P,并請指出線段
的長度即為△ABC的費馬距離.
(3)知識應(yīng)用:
2010年4月,我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象,許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難,為解決老百姓的飲水問題,解放軍某部來到云南某地打井取水.
已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),現(xiàn)選取一點P打水井,使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小,求輸水管總長度的最小值.