在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥AB分別交AB，CD于M，N，連結(jié)BE交MN于點(diǎn)O，過O作OP⊥BE分別交AB，CD于P，Q．

探究：(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，請(qǐng)你動(dòng)手測(cè)量三條線段AE，MP，NQ的長(zhǎng)度，猜測(cè)AE與MP＋NQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你所猜測(cè)的結(jié)論；

探究：(2)如圖，若點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又是怎樣？請(qǐng)直接寫出結(jié)論；

再探究：(3)如圖，連結(jié)并延長(zhǎng)BN交AD的延長(zhǎng)線DG于H，若點(diǎn)E分別在線段DH和射線HG上時(shí)，請(qǐng)?jiān)谙聢D中完成符合題意的圖形，并判斷AE，MP，NQ之間的數(shù)量關(guān)系又分別怎樣？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

答案：
解析：

　　(1)如圖結(jié)論：AE＝MP＋NQ　　2分

　　證明：過Q作于，則，∵MN⊥AB，∴∠AMN＝90°．

　　∵四邊形ABCD為正方形，，

　　∴四邊形AMND為正方形，∴MN＝AD＝AB，．

　　∴四邊形為矩形．，　　3分

　　在△BAE和中，

　　∵PQ⊥BE，．，

　　　　4分

　　，，　　5分

　　，，

　　　　6分

　　(2)如圖，若點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論AE＝QN－MP　　8分

　　(3)如圖，若點(diǎn)E1在線段DH上時(shí)，結(jié)論：AE1＝MP1＋NQ1　　10分

　　若點(diǎn)E2在射線HG上時(shí)，結(jié)論：AE2＝MP2－NQ2　　12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：如圖所示，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC上的一點(diǎn)，且DF=
14
DC．求證：△BEF是直角三角形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，過B，D兩點(diǎn)分別作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分別為E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：△ADF≌△BAE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黑河）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，易證MN=AM+CN
（1）如圖2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=
1
2
∠ABC，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN=
1
2
∠ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出猜想，不需證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

21、在正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC，垂足為E，PF⊥CD，垂足為F，求證：EF=AP．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一點(diǎn)，且AP=BC+CP，Q為CD中點(diǎn)，求證：∠BAP=2∠QAD．

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