Question

20．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}x+2$的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，將線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B落至C處，求過B、C兩點(diǎn)直線的解析式．

Answer 1

分析 過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H，如圖，先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定B（0，2），A（3，0），再證明△ABO≌△CAH得到AH=OB=2，CH=OA=3，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），然后利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式．

解答 解：過C點(diǎn)作CH⊥x軸于H，如圖，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{2}{3}x+2$=2，則B（0，2），
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{2}{3}x+2$=0，解得x=3，則A（3，0），
∵線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
在△ABO和△CAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠AHC}\\{∠ABO=∠CAH}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAH，
∴AH=OB=2，CH=OA=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，2），C（5，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{5}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y=kx+b；將自變量x的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．解決本題的關(guān)鍵是確定C點(diǎn)坐標(biāo)．